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ethematica是一款符号运算的利器，可以完成各种复杂的符号运算。在这里我们尝试利用这一软件进行一阶微分方程的推导。首先回顾一下一阶微分方程的解法。
形如：$$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + P\left ( x \right )y =Q\left ( x \right )·····\left ( 1 \right )$$即为一阶线性微分方程。
如果\(Q\left ( x \right )\equiv 0\)，那么该方程是齐次的；
如果\(Q\left ( x \right )\)不为0，那么该方程是非齐次的。一、齐次方程
首先讨论如下齐次方程的通解：$$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + P\left ( x \right )y =0·····\left ( 2 \right )$$
分离变量：$$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} y} = -P\left ( x \right ){\mathrm{d} x}·····\left ( 3 \right ) $$
两边积分得：$$lny=-\int P\left ( x \right ){\mathrm{d} x} + lnc·····\left ( 4 \right ) $$
整理即可得通解：$$y=c\cdot e^{-\int P\left ( x \right ){\mathrm{d} x}}·····\left ( 5 \right ) $$二、非齐次方程
接下来使用常数变易法求非齐次线性方程（1）的通解。
将齐次方程通解中的常数c换成\(u\left ( x \right )\equiv 0\):$$y=u\cdot e^{-\int P\left ( x \right ){\mathrm{d} x}}·····\left ( 6 \right ) $$
两边求导得：$$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}={u}’e^{-\int P\left ( x \right ){\mathrm{d} x}}-uP\left ( x \right )e^{-\int P\left ( x \right ){\mathrm{d} x}}·····\left ( 6 \right ) $$
与式（1）对比可得：$${u}’e^{-\int P\left ( x \right ){\mathrm{d} x}}=Q\left ( x \right )·····\left ( 7 \right ) $$
$$u=c+\int Q\left ( x \right )e^{\int P\left ( x \right ){\mathrm{d} x}}{\mathrm{d} x}·····\left ( 8 \right ) $$
将式（8）代到式（5）：$$y=e^{-\int P\left ( x \right ){\mathrm{d} x}}\cdot\left [ c+\int Q\left ( x \right )e^{\int P\left ( x \right ){\mathrm{d} x}}{\mathrm{d} x} \right ] ·····\left ( 9 \right ) $$
化简得：$$y=c \cdot e^{-\int P\left ( x \right ){\mathrm{d} x}}+e^{-\int P\left ( x \right ){\mathrm{d} x}} \cdot \int Q\left ( x \right )e^{\int P\left ( x \right ){\mathrm{d} x}}{\mathrm{d} x} ·····\left ( 10 \right ) $$
可以看出，第一项是齐次方程的通解，第二项是非齐次方程的一个特解。
接下来，在Mathematica中进行相关求解。
一、直接求解
直接在软件输入界面输入如下公式：
即可获得非齐次方程的通解如下图：
二、分步推导
首先将非齐次方程存储到一个名为“非齐次方程”的符号中：
然后求解相应齐次方程的通解并存储在“齐次方程通解”中：
接下来，将通解中的常数项c1替换为C[x]并存储在“常数变易方程”中：
将变易后的方程代到非齐次方程中，可以得到含有常数函数的方程：
将上图中的方程求解：
使用常数函数替换齐次方程通解中的常数，可得特解：
那么非齐次方程的通解为特解+齐次通解：
验证一下，将非齐次通解带入原来的非齐次方程检验是否正确：
等号左右相同，说明计算出来的非齐次通解正确。
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